不是游戏的数学游戏
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科学人 网站 2005-11-21
 不是游戏的数学游戏
2300多年来，人类仅发现42个梅森素数。寻找梅森素数在全球已经成为一种群众性的数学游戏，但它决不是一种单纯的游戏
□方成
自从德国眼科专家、数学爱好者马丁·诺瓦克今年2月发现迄今人类已知的最大梅森素数以来，全球兴起了寻找梅森素数的新一轮热潮。据10月20日在意大利出版的《科学探索》杂志报道，到目前为止，世界上有150多个国家和地区9.2万人参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的项目，并动用了25万多台计算机来进行大规模的网格计算，以寻找新的梅森素数。
神奇的梅森素数
素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等等。公元前300多年，古希腊数学家欧几里得用反证法证明了素数有无穷多个，并提出了少量素数可写成2P－1(其中指数P为素数)的形式。此后许多著名数学家，包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、车比雪夫、哈代、拉曼纽杨、吉里斯等都研究过这种特殊形式的素数；而17世纪的法国数学家马林·梅森(Marin Mersenne)是其中成果较为卓著的一位。
由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及他是法兰西科学院的奠基人，为了纪念他，数学界就把2P－1型的数称为“梅森数”，并以Mp记之(其中M为梅森姓氏的首字母)；如果Mp为素数，则称之为“梅森素数”。
梅森素数貌似简单，但研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。在“手算笔录年代”，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。1772年，被誉为“数学英雄”的欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31是一个素数。它具有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已，难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”
计算机介入竞争
电子计算机的出现，大大加快了探寻梅森素数的步伐。1952年数学家鲁滨逊等人将著名的卢卡斯－雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在短短几小时之内，就找到了5个梅森素数。
1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数M11213(11213为下标)通过大型计算机被找到时，美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放，以第一时间发布了这一重要消息。发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为让全世界都分享这一成果，以至把所有从系里发出的信封都盖上了“211213(11213为指数)－1是个素数”的邮戳。
“自古英雄出少年”，两个初出茅庐的美国中学生诺尔和尼科尔经过3年的努力编写了一个计算程序，于1978年10月在Cyber174型计算机上运行350个小时发现了第25个梅森素数。世界几乎所有的大新闻机构(包括中国的新华社)及学术刊物都报道了这一消息；著名的《纽约时报》还把它作为头版头条来报道。
随着素数P值的增大，每一个梅森素数的产生都艰辛无比；而各国科学家及业余研究者们仍乐此不疲，激烈竞争。例如，在1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数时，有人告诉他们：在两个星期前诺尔就已经给出了同样的结果。为此他们潜心发愤，花了一个半月的时间，使用Cray－1型计算机找到了新的梅森素数。这件事成了当时不少报纸的头版新闻。之后，史洛温斯基乘胜前进，使用经过改进的Cray－XMP型计算机在1983年至1985年间又找到了3个梅森素数。
为了与美国较量，英国原子能技术权威机构———哈威尔实验室专门成立了一个研究小组来寻找更大的梅森素数。他们用了两年的时间，花了12万英镑的经费，于1992年3月25日找到了新的梅森素数。不过，1994年1月14日，史洛温斯基等人为美国再次夺回发现“已知最大素数”的桂冠———这一素数是M859433(859433为下标)。而下一个梅森素数仍是他们的成果，这一素数是使用Cray－T94超级计算机在1996年找到的。由于史洛温斯基是发现梅森素数最多的人，他被人们誉为“素数大王”。
新技术如虎添翼
网格计算技术的出现使梅森素数的探寻如虎添翼。1996年初美国数学家及程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用，这就是闻名世界的GIMPS项目。该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。著名的英国《自然》杂志曾有一则报道认为：GIMPS项目不仅会进一步激发人们对梅森素数探寻的热情，而且会引起人们对网格应用研究的高度重视。1997年美国数学家及程序设计师斯科特·库尔沃斯基和其他人建立了“素数网”(PrimeNet)，使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。现在只要人们去GIMPS的主页下载那个免费程序，就可以立即参加GIMPS项目来搜寻梅森素数。
为了激励人们寻找梅森素数，设在美国的电子新领域基金会(EFF)于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来探寻新的更大的梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为：超过1000万位数，10万美元；超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。但是，绝大多数志愿者参与该项目不是为了金钱而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。
1999年6月住在美国密歇根州普利茅斯市的纳扬·哈吉拉特瓦拉使用一台装有350MHz奔腾处理器的个人计算机找到了第38个梅森素数，该素数超过200万位。为此，他获得了EFF颁发的5万美元奖金。哈吉拉特瓦拉是一家因特网咨询公司的总裁，他在接受《底特律时报》的记者采访时说：“我念小学四年级时从《吉尼斯世界纪录》一书中得知梅森素数，当时觉得它十分神奇。两年前凭好奇心和求知欲参加了GIMPS项目，我的运气还算不错，只在计算机上进行了3个星期的持续运算就发现了这个宝贝。”之后，他把全部的数学奖金捐给了一家慈善机构。
马丁·诺瓦克这名数学爱好者6年前就参加了GIMPS项目，他利用24台主频为2.4GHz的个人计算机运行梅森素数计算程序，经过50天的持续运算终于在今年2月18日得到了第42个梅森素数M25964951(25964951为下标)(即2的25964951次方减1)。该数是目前世界上已知的最大素数，它有7816230位数；如果用普通字号将这个数字连续写下来，其长度可达3万多米！专家们认为，这是数学研究和计算技术中最重要的成果之一。他们预料这个纪录不久将会被刷新。近10年来，人们通过GIMPS项目找到了8个梅森素数，其发现者来自美国、英国、法国、德国和加拿大。目前该项目的运算能力超过当今世界上任何一台最先进的超级矢量计算机的运算能力，运算速度可达每秒200万亿次。
不仅仅是数学游戏
2300多年来，人类仅发现42个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们称为“数海明珠”。梅森素数是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
从已知的梅森素数来看，这种特殊的素数在正整数中的分布是时疏时密极不规则的，因此探索梅森素数的重要性质———分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。英国数学家香克斯、法国数学家伯特兰和托洛塔、印度数学家拉曼纽杨、美国数学家吉里斯和德国数学家伯利哈特等都曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以渐近表达式给出；而它们与实际情况的接近程度均难如人意。
中国数学家及语言学家周海中对梅森素数研究多年，他运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年首先给出了梅森素数分布的准确表达式，为人们探寻这一素数提供了方便。后来这一科研成果被国际上称为“周氏猜测”。著名的《科学美国人》杂志上有一篇评介文章指出，“这一成果是梅森素数研究中的一项重大突破。”
探寻梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效的途径；它推动了数学皇后———数论的研究，也促进了计算数学、程序设计技术、网格计算技术以及密码技术的发展；另外探寻梅森素数的方法还可用来测试计算机硬件运算是否正确。因此，科学家们认为，对于梅森素数的探寻能力如何，已在某种意义上标志着一个国家的科技水平。可以相信，梅森素数这颗数学海洋中的璀璨明珠正以其独特的魅力，吸引着更多的有志者去探寻。
马林·梅森
马林·梅森(1588－1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多有益的工作。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的学术思想通道作用。17世纪时，学术刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望重的梅森就成了欧洲科学家之间的联系桥梁。许多科学家都乐于将成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。因此，他被人们誉为“有定期学术刊物之前的科学信息交换站”。梅森和巴黎科学家笛卡尔、费马、罗伯瓦、迈多治等曾每周一次在梅森寓所聚会，轮流讨论数学、物理等问题，这种民间学术组织被称为“梅森学院”，它就是法兰西科学院的前身。
[南方周末]
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